torch.linalg.qr#

torch.linalg.qr(A, mode='reduced', *, out=None)#

計算矩陣的QR分解。

令 $\mathbb{K}$ 為 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，矩陣 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 的滿秩 QR 分解定義為

A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times m}, R \in \mathbb{K}^{m \times n}}

其中 $Q$ 在實數情況下是正交的，在複數情況下是酉的，而 $R$ 是具有實數對角線的上三角矩陣（即使在複數情況下也是如此）。

當 m > n（高矩陣）時，由於 R 是上三角矩陣，其最後 m - n 行是零。在這種情況下，我們可以去掉 Q 的最後 m - n 列，形成縮減 QR 分解

A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times n}, R \in \mathbb{K}^{n \times n}}

當 n >= m（寬矩陣）時，縮減 QR 分解與滿秩 QR 分解一致。

支援浮點 (float)、雙精度浮點 (double)、複數浮點 (cfloat) 和複數雙精度浮點 (cdouble) 資料型別。還支援矩陣批處理，如果 `A` 是一個矩陣批處理，則輸出具有相同的批處理維度。

引數 mode 用於在滿秩和縮減 QR 分解之間進行選擇。如果 A 的形狀為 (*, m, n)，令 k = min(m, n)

mode= ‘reduced’（預設）：返回形狀分別為 (*, m, k)、(*, k, n) 的 (Q, R)。它始終是可微的。
mode= ‘complete’：返回形狀分別為 (*, m, m)、(*, m, n) 的 (Q, R)。對於 m <= n，它是可微的。
mode= ‘r’：僅計算縮減的 R。返回 (Q, R)，其中 Q 為空，R 的形狀為 (*, k, n)。它永遠不可微。

與 numpy.linalg.qr 的區別

mode= ‘raw’ 未實現。
與 numpy.linalg.qr 不同，此函式始終返回一個包含兩個張量的元組。當 mode= ‘r’ 時，Q 張量為空。

警告

R 對角線上的元素不一定為正。因此，返回的 QR 分解僅在 R 對角線符號的意義上是唯一的。因此，不同的平臺（如 NumPy）或不同裝置上的輸入可能會產生不同的有效分解。

警告

當 A 中的每個矩陣的前 k = min(m, n) 列是線性無關的時，QR 分解才定義良好。如果不滿足此條件，不會丟擲錯誤，但得到的 QR 可能不正確，其自動微分可能會失敗或產生不正確的結果。

引數

A (Tensor) – 形狀為 (*, m, n) 的張量，其中 * 是零個或多個批處理維度。
mode (str, optional) – ‘reduced’、‘complete’、‘r’ 中的一個。控制返回張量的形狀。預設值：‘reduced’。

關鍵字引數

out (tuple, optional) – 包含兩個張量的輸出元組。如果為 None 則忽略。預設為 None。

返回

一個命名元組 (Q, R)。

示例

>>> A = torch.tensor([[12., -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]])
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A)
>>> Q
tensor([[-0.8571,  0.3943,  0.3314],
        [-0.4286, -0.9029, -0.0343],
        [ 0.2857, -0.1714,  0.9429]])
>>> R
tensor([[ -14.0000,  -21.0000,   14.0000],
        [   0.0000, -175.0000,   70.0000],
        [   0.0000,    0.0000,  -35.0000]])
>>> (Q @ R).round()
tensor([[  12.,  -51.,    4.],
        [   6.,  167.,  -68.],
        [  -4.,   24.,  -41.]])
>>> (Q.T @ Q).round()
tensor([[ 1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1., -0.],
        [ 0., -0.,  1.]])
>>> Q2, R2 = torch.linalg.qr(A, mode='r')
>>> Q2
tensor([])
>>> torch.equal(R, R2)
True
>>> A = torch.randn(3, 4, 5)
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A, mode='complete')
>>> torch.dist(Q @ R, A)
tensor(1.6099e-06)
>>> torch.dist(Q.mT @ Q, torch.eye(4))
tensor(6.2158e-07)

torch.linalg.qr#

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