torch.gradient#

torch.gradient(input, *, spacing=1, dim=None, edge_order=1) → List of Tensors#

使用二階精度中心差分法和一階或二階的邊界估計，來估算函式 $g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 。

梯度的計算是基於取樣點進行的。預設情況下，當未指定 spacing 時，取樣點完全由 input 決定，並且輸入座標到輸出的對映與張量索引到值的對映相同。例如，對於一個三維 input，所描述的函式為 $g : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ ，並且 $g(1, 2, 3)\ == input[1, 2, 3]$ 。

當指定 spacing 時，它會修改 input 和輸入座標之間的關係。這將在下面的“關鍵字引數”部分詳細說明。

梯度的計算方法是獨立估算 $g$ 的每個偏導數。如果 $g$ 屬於 $C^3$ (即具有至少 3 個連續導數)，則此估算準確。透過提供更接近的取樣點可以改進估算。數學上，每個內部點的偏導數使用帶有餘項的泰勒定理進行估算。令 $x$ 為一個內部點，其左側和右側的相鄰點分別為 $x-h_l$ 和 $x+h_r$ ，那麼 $f(x+h_r)$ 和 $f(x-h_l)$ 可以使用以下公式估算：

\begin{aligned} f(x+h_r) = f(x) + h_r f'(x) + {h_r}^2 \frac{f''(x)}{2} + {h_r}^3 \frac{f'''(\xi_1)}{6}, \xi_1 \in (x, x+h_r) \\ f(x-h_l) = f(x) - h_l f'(x) + {h_l}^2 \frac{f''(x)}{2} - {h_l}^3 \frac{f'''(\xi_2)}{6}, \xi_2 \in (x, x-h_l) \\ \end{aligned}

利用 $f \in C^3$ 這一事實，並求解線性方程組，我們得到：

f'(x) \approx \frac{ {h_l}^2 f(x+h_r) - {h_r}^2 f(x-h_l) + ({h_r}^2-{h_l}^2 ) f(x) }{ {h_r} {h_l}^2 + {h_r}^2 {h_l} }

注意

我們以同樣的方式估算複數域函式 $g : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}$ 的梯度。

邊界點處每個偏導數的值計算方式不同。請參見下面的 edge_order。

引數

input (Tensor) – 代表函式值的張量

關鍵字引數

spacing (scalar, list of scalar, list of Tensor, optional) – spacing 用於修改 input 張量的索引與取樣座標之間的關係。如果 spacing 是一個標量，則索引乘以該標量以產生座標。例如，如果 spacing=2，則索引 (1, 2, 3) 變為座標 (2, 4, 6)。如果 spacing 是一個標量列表，則將相應的索引相乘。例如，如果 spacing=(2, -1, 3)，則索引 (1, 2, 3) 變為座標 (2, -2, 9)。最後，如果 spacing 是一個一維張量列表，則每個張量指定對應維度的座標。例如，如果索引是 (1, 2, 3) 並且張量是 (t0, t1, t2)，則座標為 (t0[1], t1[2], t2[3])。
dim (int, list of int, optional) – 近似梯度的維度或維度。預設情況下，計算每個維度的偏導數。請注意，當指定 dim 時，spacing 引數的元素必須與指定的 dim 相對應。
edge_order (int, optional) – 1 或 2，分別用於邊界（“edge”）值的一階或二階估算。請注意，當指定 edge_order 時，input 的每個維度大小應至少為 edge_order+1。

示例

>>> # Estimates the gradient of f(x)=x^2 at points [-2, -1, 2, 4]
>>> coordinates = (torch.tensor([-2., -1., 1., 4.]),)
>>> values = torch.tensor([4., 1., 1., 16.], )
>>> torch.gradient(values, spacing = coordinates)
(tensor([-3., -2., 2., 5.]),)

>>> # Estimates the gradient of the R^2 -> R function whose samples are
>>> # described by the tensor t. Implicit coordinates are [0, 1] for the outermost
>>> # dimension and [0, 1, 2, 3] for the innermost dimension, and function estimates
>>> # partial derivative for both dimensions.
>>> t = torch.tensor([[1, 2, 4, 8], [10, 20, 40, 80]])
>>> torch.gradient(t)
(tensor([[ 9., 18., 36., 72.],
         [ 9., 18., 36., 72.]]),
 tensor([[ 1.0000, 1.5000, 3.0000, 4.0000],
         [10.0000, 15.0000, 30.0000, 40.0000]]))

>>> # A scalar value for spacing modifies the relationship between tensor indices
>>> # and input coordinates by multiplying the indices to find the
>>> # coordinates. For example, below the indices of the innermost
>>> # 0, 1, 2, 3 translate to coordinates of [0, 2, 4, 6], and the indices of
>>> # the outermost dimension 0, 1 translate to coordinates of [0, 2].
>>> torch.gradient(t, spacing = 2.0) # dim = None (implicitly [0, 1])
(tensor([[ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000],
          [ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000]]),
 tensor([[ 0.5000, 0.7500, 1.5000, 2.0000],
          [ 5.0000, 7.5000, 15.0000, 20.0000]]))
>>> # doubling the spacing between samples halves the estimated partial gradients.

>>>
>>> # Estimates only the partial derivative for dimension 1
>>> torch.gradient(t, dim = 1) # spacing = None (implicitly 1.)
(tensor([[ 1.0000, 1.5000, 3.0000, 4.0000],
         [10.0000, 15.0000, 30.0000, 40.0000]]),)

>>> # When spacing is a list of scalars, the relationship between the tensor
>>> # indices and input coordinates changes based on dimension.
>>> # For example, below, the indices of the innermost dimension 0, 1, 2, 3 translate
>>> # to coordinates of [0, 3, 6, 9], and the indices of the outermost dimension
>>> # 0, 1 translate to coordinates of [0, 2].
>>> torch.gradient(t, spacing = [3., 2.])
(tensor([[ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000],
         [ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000]]),
 tensor([[ 0.3333, 0.5000, 1.0000, 1.3333],
         [ 3.3333, 5.0000, 10.0000, 13.3333]]))

>>> # The following example is a replication of the previous one with explicit
>>> # coordinates.
>>> coords = (torch.tensor([0, 2]), torch.tensor([0, 3, 6, 9]))
>>> torch.gradient(t, spacing = coords)
(tensor([[ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000],
         [ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000]]),
 tensor([[ 0.3333, 0.5000, 1.0000, 1.3333],
         [ 3.3333, 5.0000, 10.0000, 13.3333]]))

torch.gradient#

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