torch.linalg.eig

torch.linalg.eig(A, *, out=None)

計算方陣的特徵值分解（如果存在）。

令 $\mathbb{K}$ 為 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，方陣 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的**特徵值分解**（如果存在）定義為

$$A = V \operatorname{diag}(\Lambda) V^{-1}\mathrlap{\qquad V \in \mathbb{C}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{C}^n}$$

此分解存在當且僅當 $A$ 是 可對角化的。當其所有特徵值都不同時，這種情況成立。

支援浮點 (float)、雙精度浮點 (double)、複數浮點 (cfloat) 和複數雙精度浮點 (cdouble) 資料型別。還支援矩陣批處理，如果 `A` 是一個矩陣批處理，則輸出具有相同的批處理維度。

返回的特徵值不保證按任何特定順序排列。

注意

實數矩陣的特徵值和特徵向量可能是複數。

注意

當輸入在 CUDA 裝置上時，此函式會使該裝置與 CPU 同步。

警告

此函式假定 A 是 可對角化的（例如，當所有特徵值都不同時）。如果它不可對角化，則返回的特徵值是正確的，但 $A \neq V \operatorname{diag}(\Lambda)V^{-1}$.

警告

返回的特徵向量被歸一化為範數 1。即便如此，矩陣的特徵向量也不是唯一的，也不是關於 A 連續的。由於這種非唯一性，不同的硬體和軟體可能計算出不同的特徵向量。

這種非唯一性是由一個事實引起的：將特徵向量乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 會產生另一組有效的矩陣特徵向量。因此，損失函式不應依賴於特徵向量的相位，因為該量不是明確定義的。在計算此函式的梯度時會檢查這一點。因此，當輸入在 CUDA 裝置上時，此函式梯度的計算會使該裝置與 CPU 同步。

警告

使用 eigenvectors 張量計算的梯度僅在 A 具有不同特徵值時才為有限值。此外，如果任意兩個特徵值之間的距離接近於零，則梯度在數值上是不穩定的，因為它依賴於特徵值 $\lambda_i$ 透過計算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$.

另請參閱

torch.linalg.eigvals() 僅計算特徵值。與 torch.linalg.eig() 不同，eigvals() 的梯度在數值上始終是穩定的。

對於 torch.linalg.eigh()，這是一個（更快的）函式，用於計算厄米矩陣和對稱矩陣的特徵值分解。

對於 torch.linalg.svd()，這是一個計算另一種譜分解的函式，適用於任何形狀的矩陣。

對於 torch.linalg.qr()，這是一個（快得多）的分解，適用於任何形狀的矩陣。

引數

A (Tensor) – 形狀為 (*, n, n) 的張量，其中 * 是零個或多個批次維度，由可對角化矩陣組成。

關鍵字引數

out (tuple, optional) – 包含兩個張量的輸出元組。如果為 None 則忽略。預設為 None。

返回

一個命名元組 (eigenvalues, eigenvectors)，對應於上面的 $\Lambda$ 和 $V$。

eigenvalues 和 eigenvectors 始終為複數值，即使 A 為實數。特徵向量將由 eigenvectors 的列給出。

示例

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A
tensor([[ 0.9828+0.3889j, -0.4617+0.3010j],
        [ 0.1662-0.7435j, -0.6139+0.0562j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> L
tensor([ 1.1226+0.5738j, -0.7537-0.1286j], dtype=torch.complex128)
>>> V
tensor([[ 0.9218+0.0000j,  0.1882-0.2220j],
        [-0.0270-0.3867j,  0.9567+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(V @ torch.diag(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(7.7119e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> torch.dist(V @ torch.diag_embed(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(3.2841e-16, dtype=torch.float64)